2007年全国24题

(2007年全国24)（19分)一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

涉及知识点:
1．匀变速直线运动加速度公式

2．牛顿第二定律

关键词切入点:
经过一段时间：说明二者已经共速
一段黑色痕迹：说明为相对位移，即二者位移之差。

分析:
传送带加速过程中，存在两种情况，a0>μg和a0<μg。若果为后者，则物体与传送带一起运动所需摩擦力为ma0 <μmg，即小于最大静摩擦，将不会发生相对滑动，也不会留下黑色痕迹。所以必然为前者。

这样二者发生相对滑动，之间为滑动摩擦力，煤块为匀加速运动。传送带为加速度更大的匀加速运动，当传送带匀速运动时，煤块的速度还较小，应继续加速，直至与传送带共速。二者位移之差就等于黑色痕迹的长度。

用速度时间图像表示为右图，实线为传送带运动，虚线为煤块运动，到t1时刻传送带开始运动，t2时刻煤块与传送带共速，阴影部分面积为黑色痕迹长度。

解答样例:
根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a小于传送带的加速度a0。根据牛顿定律，可得：a=μg
设经历时间t1，传送带由静止开始加速到速度等于v0，煤块则由静止加速到v，有
v0=a0t1  
v=at1
由于a<a0，故v<v0，煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间t'，煤块的速度由v增加到v0，有： v=v+at'
此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。

设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s，有
s0=(1/2)a0t2+v0t'  

传送带上留下的黑色痕迹的长度： l=s0－s

由以上各式得：

题目变形:
如果传送带经过一段足够长的时间后突然瞬间停止运动，则最终留下的黑色痕迹长度多长？
答案：

如果取μ=0.2，传送带以速度v0=10m/s匀速运动，且传送带足够长。煤块按以下几种速度情况在传送带上开始运动，黑色痕迹长度为多少？
1、v=6m/s(与传送带运行方向相同)  （4m）
2、v=12m/s(与传送带运行方向相同)  (1m)

请独自完成